Łukasz Skotny

Arjen 最近问我关于应力奇点的问题。已经有很多关于这个问题的文章了（我认为这是一个常见的问题）。但我也想在讨论中加入一些东西 : )

应力奇点基础知识 

我相信你已经听说过它，所以我会简要说明。应力奇点基本上是一个应力“理论上无限大”的地方。我认为最著名的例子是点载荷。当你将载荷施加到一个点（没有面积）上时，应力是无限大的（力被零面积除）。当然还有其他例子，比如：

• 点载荷
• 应用于一个点的边界条件（点支持）
• 锐利的“内部”角(sharp inside corner)
• 锋利边缘(sharp corner)处的接触

请注意，这不完全是应力集中。许多几何特征会在周围“集中”应力。我不想在这里详细讨论，但一般来说，这类问题有一个“有限的答案”。这意味着在应力集中中，你实际上会随着网格细化得到结果的收敛。当涉及到应力奇点时，你可以将其看作是“应力集中的刻薄而丑陋的姐姐”。无论你如何细化网格，应力都会一直变高！

应力奇点的工作原理 

我必须承认，在锐利的内部角例子上，我可能会有些困难来解释它。这很可能是我对学习 FEA 数学背后的原理态度不够积极的缘故。在这里，我将使用一个点载荷的案例，因为这是最简单的（也最能说明问题）。也许你在某个地方听说过：有限元素不存在！元素或多或少“描述”了节点如何通过方程相互连接。画出元素是很方便的，但实际上求解器看到的是相互连接的节点。可以这样想象：网格由弹簧连接的节点组成！这在这里很重要！你看，当你将载荷施加到一个节点上时，你实际上没有加载一个“点”。相反，你加载了该节点周围的“空间”。由于你的模型有节点和它们之间的空间，结果有些棘手。你在屏幕上看到的更或多或少是赋给最接近的节点的值的平均值。简单地说，你正在加载一个节点和与之共享这个节点的“部分”元素。

现在问题变得简单了。如果元素“大”，则“分配”给节点的区域也相当大。你得到一个力除以这个“面积”，这就是你在后处理器中看到的应力。毕竟，在你的比例尺上，你有多少次看到了实际的“无穷大”？从这里开始，只有一个更深的理解需要明白！如果你让元素更小，分配给加载节点的区域也会更小。由于力始终是恒定的，并且随着网格细化，“分配”区域会减小……应力会越来越高。它永远不会收敛！你越细化网格，应力就会越来越高！

有趣的事实：如果一个重60公斤的女人站在一只高跟鞋上（0.5×0.5厘米的面积），那么所产生的应力是……24兆帕。足以破坏混凝土表面（至少是中等和较弱的混凝土）……但我们知道这并不会真的发生！

常见解决方案

这是一个常见的问题，你会找到很多关于如何处理它的建议。我将在下面分享它们，并提出我的想法：

• 忽略奇点：有一定道理。圣维南原理教我们，如果你离奇点的源头足够远，那么你就没问题了。但我总觉得这个方法有问题。毕竟引起奇点的任何东西在现实中都存在，对吧？我同意，在模型中，载荷不是作用在“点”上的。它作用在一个小区域上！这意味着它确实存在！你应该预期该区域的应力会更高。当然，它们不会是无限的，但这并不意味着你可以完全忽略它们！我认为这是一个常见的错误。人们只是忽略了奇点附近的结果，而没有考虑那里真正发生了什么。

• 增加面积：这是一个合理的选择，但你不能一直这样做。如果你的载荷作用在一个小面积上，就按照这种方式建模。一切都很好，这解决了问题。当然，建模可能不太“实用”。对于支撑物也可以采用同样的方法，但由于边界条件的原因，这可能会有些棘手。

• 建模圆角：我真的不喜欢这个方法。我认为这是对于尖锐的“内角”问题的一个概括性答案。通常，答案是：“制作一个完美的90度角是不可能的。总会有一个小圆角 – 将其建模！”我完全理解这是正确的。但实际上，这是一个完全的乌托邦！如果你有一个10×10米的元素需要作为一个整体进行分析，加入一个0.1毫米的圆角（用精确的网格）并不是一个很好的解决方案！当然，有些情况下这是唯一的选择，但不要默认采用这个方法！

• 制作一个更小的独立模型：在某些情况下，这是有道理的。如果你有一个大模型，并且需要检查一个细节…只需制作一个小的精确模型并检查这个细节即可。但要注意，通常很难为这样的切割元素分配适当的边界条件。在这方面你需要非常谨慎！

• 使用非线性材料是一个很好的选择。应力将被屈服限制，你将简单地得到一些塑性应变。当然，在点载荷的位置，这种应变可能会非常高，但在许多情况下仍然是“可接受”的。这很可能是时间成本最低的方法，但当然，并不是所有情况都适用。

需要考虑的事情很明显，这个问题很复杂 – 这就是为什么有这么多方法的原因！毫无疑问，它们每一个都是有用的，否则它们就不会在所有那些文章（包括我的）中出现！我想说的是，有一些特殊情况需要格外小心。我想最需要提到的是疲劳！如果你想解决疲劳问题 – 应力奇点将让你头晕！简单来说，你不能忽视它（因为它对安全至关重要！），也不会使用屈服（除非你想检查低周疲劳，这可能不是目标）。这通常意味着，在涉及疲劳时，那些小圆角和对施加载荷的区域进行建模确实在复杂模型中发生。再次强调，在许多情况下，创建一个更详细的独立模型可能是个好主意。只是要注意边界条件！总结 我将尝试总结一下我在这里写的内容：

• 应力奇点是简化建模的结果（这是完全合理的）。制作更准确的模型将解决问题（但需要的时间有时会太长！）。
• 制作具有足够细节的较小模型可能有所帮助。在这种情况下，应该注意边界条件。 
• 由于圣维南原理，远离奇点的结果是可以接受的。 忽略应力奇点的结果似乎是常见的方法。不幸的是，这样做是不应该的，因为通常这些影响是真实存在的（只是被高估了）。在那个区域完全忽略结果将是有风险的！ 
• 通常使用非线性材料意味着在奇点区域材料会屈服。这解决了“无限应力”问题。然而，在这些区域中的塑性应变可能很大，也应该进行检查！