Łukasz Skotny

网格大小是FEA中最常见的问题之一。这里有一条细微的界限：大的元素会给出糟糕的结果，而小的元素会导致计算时间过长，使得根本无法得到结果。你永远无法真正确定你的网格大小在这个范围的哪个位置。学习如何选择正确的网格大小，并估计在哪个网格大小下解决方案的准确性是可接受的。

我将以一个简单的离散支撑壳作为示例。作为“结果”，我将使用第一个特征值的临界载荷乘数。也许值得一提的是，“结果”可以是你感兴趣的任何内容。如果你想知道某个节点中的特定应力分量，或者选择DOF的位移，那也可以。只要它确实受到网格大小的影响！我选择临界载荷乘数仅仅是因为它易于获得，并且线性屈曲计算非常快 🙂

选择一个正确的网格尺寸

您可以在下面看到我使用的模型。请注意，随着网格细化，变形形状和结果会发生变化。我应该写下，每个问题都应进行网格细化检查（通常称为网格收敛）。这在某种程度上是正确的，但让我们面对现实吧，您很可能不会为每个问题都进行这样的研究…这需要很多时间！我建议您为一些最重要的项目/部件进行此类研究，并根据这些经验将知识推广到类似的问题中。

在这个例子中，我使用了QUAD4单元（通常称为“S4”的普通4节点四边形单元）。为了确定合适的有限元大小：

• 对于几个不同的网格大小进行所选择的分析。
• 注意高变形或高应力出现的地方，也许值得在这些区域内加密网格。
• 收集每个网格分析的数据：结果、模型中节点的数量、计算时间。

对于我们的壳体，我对不同的单元尺寸进行了一些分析。在上面的图中，您可以看到选定网格的结果。请注意，对于最大的元素，实际的特征值形状与更精细的网格模型的情况不同。

什么样的网格尺寸是“足够小”?

通常来说，更小的网格意味着更准确的结果，但计算时间也显著增加。您应该在计算时间和准确性之间寻求平衡。在某些情况下，您可以将计算时间增加两倍以上，以提高1%的准确性-对我来说，这似乎不合理。根据您需要的准确度，您最了解自己的问题，因此您最清楚什么是有意义的，什么不是有意义的。当讨论网格密度时，教程中使用已知的解析解来解决不同的问题。然后，您可以轻松比较FEA结果和已知解决方案-您可以轻松获得误差值。这是一种可以教会您很多东西的绝妙方法，但不幸的是，在现实中，您不知道正确的答案…所以您真的无法这样做，对吗？不幸的是，在几乎所有为商业或科学目的执行的分析中，问题的解决方案都是未知的。在这些情况下，“典型”方法不起作用。相反，您将不得不根据您所做的不同网格模型“猜测”正确的答案。这是通过以下图表完成的：

有限元素的大小减小会导致模型中元素的增多，进而导致模型中节点数的增加。如果我们构建一个图表，显示结果（在本例中为第一个特征值）与模型中节点数的依赖关系，这个图表将会渐近逼近正确答案（在本例中为0.6947）。节点数只是其中一个可能的参数。由于我仅在整个模型中减小了元素大小，因此使用节点数是合理的。您也可以轻松地使用零件宽度上的元素数量或“典型”元素的大小等。如果您仅在小区域（即应力集中区域）中细化网格，则可以使用该区域的节点数而不是整个模型的节点数等。无论您使用哪种指标，都取决于您正在解决的问题。节点数是最常用的指标之一，仅仅因为它是最容易实现的指标 🙂

让他变得容易一点

在上面的图表中精确估计渐近值可能会有问题或需要耗费大量时间。有一个简单的技巧可以使计算更容易：我们可以使用节点数的倒数作为横轴。这样，正确答案将位于横轴值为0的位置。这意味着，如果我们用方程来近似曲线（在大多数情况下，线性逼近就足够了，Excel会自动计算），那么很容易计算出x = 0时的“y”值。

请注意，所获得的曲线几乎是线性的，这通常是大多数模型的情况。从Excel提供的方程中，可以轻松推导出当x = 0时的正确答案。此阶段，由于我们知道正确答案，因此我们可以计算出在每个有限元素大小的估计结果中产生了多大的误差。下面是显示误差与计算时间以及误差与有限元素大小之间依赖关系的图表：

从上图可以很容易地注意到，在一定点之后，任何显著提高精度的努力都将“代价”昂贵的计算时间。当我被要求对网格细化进行收敛性检查时，这两个图表就是真正的答案（如果您喜欢，可以轻松地将网格元素大小改为节点数）。现在您知道每种网格大小产生的误差以及所需的计算时间 🙂做出选择和检查结果的正确性现在，你知道了使用给定网格会得到多精确的结果以及该方法需要多少计算时间。做出决定总是困难的。我通常会考虑负载或边界条件的确定性 – 通常只是“估计”，然后“增加”以确保安全。在这种情况下，几个百分点的误差不会造成任何伤害。时间也是需要考虑的因素。如果你有100个类似的模型需要计算，增加2倍的计算时间会需要很长时间…这也是需要考虑的。请注意，这张图是渐近地接近0％…如果你按照这里描述的所有步骤进行，并且你的图表没有趋近于0，那么很可能是因为你使用了过大的元素。只需知道，如果你不确定，聪明的做法是制作一个带有“极小”元素的模型 – 你知道…以防万一。如何加快计算？当你第一次进行网格收敛测试时，你会意识到，要获得高精度，计算时间将会很长。这是正确的，但你并不是毫无防御能力。看看下面类似的壳体。粗网格肯定会给出糟糕的结果，但非常细的网格需要很长时间计算。因为稳定性故障发生在底部，所以我做了第三个模型（右侧），在重要区域使用非常细的网格，在“无事发生”的地方使用粗的网格。

这样我就可以在不需要长时间计算的情况下获得准确的结果。当然，某些问题中你无法确定故障将发生在哪里等等，因此存在限制。但是，制作粗糙的网格，检查何时会出现问题，然后在那些“热点区域”细化网格而不是整个模型始终是一个好主意。这种方法并不适用于所有情况，但对于某些情况是有效的 🙂

总结一下：

• 太粗的网格可能会导致结果具有非常大的误差 
• 网格密度分析有助于决定在分析中应使用多细致的网格以获得满意的精度 
• 在出现大变形/应力/不稳定性的地方减小元素尺寸，可以在不增加计算时间的情况下大大提高精度