我们之前讨论过屈服准则，应力状态达到屈服面后会发生什么？材料屈服后是否仍具有进一步的强度？

完美塑性

除了测量的应力强度曲线通常不是平滑的曲线之外，几乎不可能直接使用原始数据进行材料的计算模拟，因此我们通常做的是通过低阶函数来简化这些复杂的曲线，这样一些不必要的细节就可以被简化。

请记住，简化材料行为并将其用于机械分析以获得所需的精度和效率是工程师的决定。在某些情况下，工程师认为材料屈服后会失去所有强度，这意味着应力应变曲线变成一条平坦的线，斜率为零的线性函数，我们将这种完美塑性(Perfect Plasticity)。因为斜率为零，随着任何载荷增量，我们期望无限大的变形。在完美塑性条件下，如果某些材料点达到屈服并失去对任何进一步载荷的抵抗力，未屈服的相邻材料点将承担载荷并防止过度变形。我们知道在现实生活中大多数材料不会突然失去所有应力，特别是对于延展性材料，因此在使用完美塑性时，工程师会故意忽略进入塑性后强度的任何增加，因此分析或设计往往更加保守，这样结构预计会过剩。

一旦材料点到达屈服面，理论上，任何小的载荷增量都会导致无限大的变形

在有限元模拟中，当某个材料点达到塑性并失去对任何进一步载荷的抵抗力时，未屈服的相邻材料点将分担载荷并防止过度变形

硬化

在其他情况下，人们确实希望在屈服后利用材料的强度，那么我们将屈服后的行为称为硬化过程(Hardening)，硬化部分可以通过单线性函数分段线性函数或高阶函数来近似，这里我们将使用单线性函数作为 讨论硬化的示例，您将看到应力强度曲线由两部分线性函数组成，一部分用于弹性，另一部分用于硬化，我们称之为双线性硬化。

材料的强度持续增长，但斜率变小塑性的硬化部分可以用线性、分段线性或高阶函数来近似

各向同性和动力学硬化

接下来，我们将尝试在 3D 空间中回答以下两个问题，屈服面如何发展以实现硬化，另一个问题是塑性，如果我们卸载材料并继续沿相反方向加载，会发生什么情况来回答这两个问题，我们将 介绍两种硬化规则：各向同性硬化（Isotropic hardening）和动力学硬化（Kinematic hardening）。

对于各向同性硬化，屈服面在径向方向上均匀扩展，正如我们之前提到的，一个屈服面对应于一维图中的一个 von Mises 应力值，较大的 von Mises 应力对应于具有较大半径的屈服面。 

对于动力学硬化，硬化机制是不同的。屈服面不是扩展而是变换到新位置，您可以看到屈服面在尺寸上保持相同的形状，它更像是刚性变换。

循环载荷硬化

现在让我们看看如果移除载荷会发生什么。一旦载荷移除开始，材料将立即返回屈服面内部并变得有弹性，如果我们继续移除载荷并使其超过零轴，也就是说在相反方向施加载荷，比如说最初材料处于拉伸状态，现在它变成压缩状态。不同方向上的负载之间的重复切换形成单调负载的循环负载，例如从点 A 到 B，这里的 3d 表面的行为也不同，对于各向同性和动力学硬化规则，硬化结果是相同的。然而，对于循环加载，表面的不同硬化规则将导致不同的材料行为。 

对于循环加载中的各向同性硬化，屈服点在一个循环内的零应力轴上方对称，从 b 点到 c 材料恢复弹性，在到达 c 点时，材料状态保持在扩展屈服面内，c 点处于卸载状态相反方向，材料状态到达圆柱表面的另一侧，此处材料再次进入塑性，从点b到零应力轴的距离和从点 c 到零应力轴的距离相同，因为它是对称的。

但是对于动力学硬化循环加载，屈服点与从 b 点到 c 点的零应力轴不对称，同样，材料返回到弹性，一旦到达 c 点，材料状态就保持在移动的屈服面内，材料状态到达移动的圆柱表面的另一侧，并且 再次进入塑性，您可以看到这里从 b 点到零应力轴和从 c 点到零应力轴的距离是不同的，这种屈服点向相反方向的移动称为波辛格效应（Bauschinger effect）。大多数金属材料在循环加载中都会观察到波辛格效应，这是一种材料特性，即材料在拉伸后其压缩屈服应力会降低。

总之，我们可以说，当载荷为单调各向同性时，动力学硬化表现相同，当存在循环载荷时，各向同性硬化无法模拟波辛格效应，因此当材料预计处于循环载荷下时，动力学硬化更为现实。在本讲座中，我们使用Von Mises屈服面和双线性硬化作为示例来解释硬化规则，事实上，各向同性和运动硬化的行为是通用的，它并不特定于某些类型的屈服服务或硬化模型。