尽管上了两门线性代数(linear algebra)课，我的知识仍停留在“矩阵(matrices)，行列式(determinants)，特征值(eigen)以及什么什么”。
为什么？好吧，让我们来看看这种课程形式：
- 课程名为线性代数，但重点放在矩阵和向量(vectors)上。
- 使用助记符来教授行/列顺序等概念，而不是解释其原因。
- 偏爱抽象例子（二维向量！三维向量！），直到最后一周才开始涉及现实世界的话题。
幸存者是物理学家、图形程序员和其他受虐狂。我们错过了关键的见解：
线性代数为您的数学方程提供了迷你表格。
我们可以取一张数据表（矩阵）并从原始数据中创建更新的表。这就是用方程式书写的电子表格的力量。
这是我希望自己拥有的线性代数入门教程，以一个现实世界的股票市场例子为例。
名字的含义是什么？
“代数(algebra)”大致意味着“关系(relationship)”。小学代数探讨的是未知数之间的关系。在不知道 x 和 y 的情况下，我们仍然可以计算出
.
“线性代数”大致意味着“线性关系（line-like relationships）”。让我们澄清一下。
直线是可预测的。想象一下屋顶：向前移动 3 英尺（相对于地面），您可能会上升 1 英尺（坡度：上升/移动 = 1/3）。向前移动 6 英尺，您会预期上升 2 英尺。与此相比，爬上一个圆顶：每向前移动一英尺，您都会上升不同的高度。
线是很好且可预测的：
- 如果向前 3 英尺有 1 英尺的上升，那么前进 10 倍的距离应该会有 10 倍的上升（向前 30 英尺是 10 英尺的上升）
- 如果向前 3 英尺有 1 英尺的上升，向前 6 英尺有 2 英尺的上升，那么（3 + 6）英尺应该有（1 + 2）英尺的上升
在数学术语中，如果对输入进行缩放等同于对输出进行缩放，并且将输入相加等同于将输出相加，那么操作 F 是线性的：
在我们的例子中， 计算向前移动 x 英尺时的上升，并且属性成立：
线性操作
操作是基于一些输入的计算。哪些操作是线性且可预测的？看来是乘法。
指数 (F(x)= x^2 ) 不可预测：10的平方是100，但20的平方是400。我们将输入加倍，但输出翻了两番。
令人惊讶的是，常规加法也不是线性的。考虑“加三”函数
:
我们将输入加倍，但输出没有加倍。（是的， F(x)= x +3 恰好是偏移线的方程，但它仍然不是“线性”的，因为F(10)≠10xF(1) 。很有趣。）
那么，什么类型的函数实际上是线性的？普通的按常数缩放，或类似于F(x)=ax 的函数。在我们的屋顶示例中a=1/3 。
但生活并不无聊。我们仍然可以将多个线性函数 (A(x)=ax,B(x)=bx,C(x)=cx ) 组合成一个更大的函数 ：
仍然是线性的，因为输入加倍则输出加倍：
我们有“迷你算术”：将输入乘以一个常数，并将结果相加。它实际上是有用的，因为我们可以将输入分开，单独分析它们，并结合结果：
如果允许非线性操作（例如x^2 ），我们将无法分解我们的工作并结合结果，因为(a+b)^2≠a^2+b^2 。这种局限于线性的操作有其优势。
组织输入和操作 大多数课程会直接向你介绍矩阵的细节。“好吧孩子们，让我们学习说话。选择主语、动词和宾语。接下来，变位动词。然后，添加介词……”
不！语法不是重点。关键的想法是什么？
- 我们有一堆要跟踪的输入
- 我们有要执行的可预测的线性操作（我们的“迷你算术”）
- 我们生成一个结果，也许会再次转换它
好吧。首先，我们应该如何跟踪一堆输入？列个清单怎么样：
x
y
z
不错。我们也可以写成 (x, y, z) —— 保持这个想法。
接下来，我们应该如何跟踪我们的操作？记住，我们只有“迷你算术”：乘以常数，最后加法。如果我们的操作 像这样：
我们可以将整个函数缩写为 (3, 4, 5)。我们知道第一个输入乘以第一个值，第二个输入乘以第二个值，第三个输入乘以第三个值，并将结果相加。
只需要第一个输入？
让我们加点调料：我们应该如何处理多组输入？假设我们想对 (a, b, c) 和 (x, y, z) 运行操作 F。我们可以这样尝试：
但这不起作用：F 期望 3 个输入，而不是 6 个。我们应该将输入分组：
1st Input 2nd Input
a x
b y
c z
整洁多了。
我们如何通过几个操作运行相同的输入？每个操作有一行：
F: 3 4 5
G: 3 0 0
不错。我们变得有组织了：竖列为输入，横列为操作。
可视化矩阵
仅有文字是不够的。这是我如何可视化输入、操作和输出的：
想象将每个输入“倒入”每个操作：
当一个输入通过一个操作时，它会产生一个输出项。在我们的例子中，输入 (a, b, c) 经过操作 F 并输出 3a + 4b + 5c。它经过操作 G 并输出 3a + 0 + 0。
是时候吃下红色药丸了！图表的简化就是矩阵：
矩阵是单个变量，表示输入或操作的表格。
难点 1：阅读顺序
我们使用函数符号，例如 y = f(x) 或 f(x) = y，而不是输入 => 矩阵 => 输出的流程。我们通常用大写字母（F）来表示矩阵，用小写字母（x）来表示单个输入列。因为我们有几个输入（A）和输出（B），它们也被认为是矩阵：
难点2：编号
矩阵的大小以行数 (Row) 和列数 (Column) 来计量，缩写为“m x n”（我知道，“r x c”更容易记住）。矩阵中的项目以相同的方式引用：a_ij 是第 i 行和第 j 列（我知道，“i”和“j”在黑板上很容易混淆）。记住上下文中的助记符是可以的，这是我用的：
- RC，就像罗马百夫长 (Roman Centurion) 或 RC 可乐 (RC Cola)
- 使用“L”形。先向下数 L，然后向右数
为什么 RC 顺序有意义？我们的操作矩阵是 2×3，我们的输入矩阵是 3×2。将它们写在一起：
[Operation Matrix] [Input Matrix]
[operation count x operation size] [input size x input count]
[m x n] [p x q] = [m x q]
[2 x 3] [3 x 2] = [2 x 2]
注意矩阵在“操作大小”和“输入大小”处相接 (n = p)。它们应该匹配！如果我们的输入有 3 个组件，那么我们的操作应预期有 3 项。实际上，只有当 n = p 时，我们才能相乘矩阵。
输出矩阵有 m 个操作行，每个输入有 q 个输入，得到一个“m x q”矩阵。
更高级的操作
让我们熟悉一下操作。假设有 3 个输入，我们可以编写几个单一操作矩阵：
- 加法器：[1 1 1]
- 平均器：[ 1/3 1/3 1/3]
“加法器”只是 a+b+ca + b + c。“平均器”类似：(a + b + c)/3 = a/3 + b/3 + c/3。
试试这些单行矩阵：
- 仅第一个输入：[1 0 0]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- 仅第二个输入：[0 1 0]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
- 仅第三个输入：[0 0 1]
如果我们将它们合并为一个矩阵：
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
哇，这是“单位矩阵(identity matrix)”，它将 3 个输入原样复制到 3 个输出。再看看这个:
[1 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]
它重新排序输入：(x, y, z) 变成 (x, z, y)。
再看看这个：
[2 0 0]
[0 2 0]
[0 0 2]
它是一个输入倍增器。如果我们愿意，可以将其重写为 2*I（单位矩阵）。
是的，当我们决定将输入视为向量坐标时(vector coordinates)，操作矩阵将变换(tranform)我们的向量。以下是一些例子：
- 缩放（scale）：使所有输入变大/变小
- 扭曲(skew)：使某些输入变大/变小
- 翻转(flip)：使输入为负
- 旋转(rotate)：基于旧坐标生成新坐标（东变为北，北变为西，等等）
这些是几何解释的乘法，如何扭曲向量空间。只要记住，向量是数据的示例，可以进行修改。
非向量示例：股票市场投资组合
让我们在现实世界中练习线性代数：
- 输入数据：持有苹果、谷歌和微软股票的投资组合金额
- 操作：新闻事件后公司价值的变化
- 输出：更新后的投资组合
额外输出：列出该事件的净利润/损失的新投资组合
通常，我们会在电子表格中跟踪这些数据。让我们学习用线性代数来思考：
- 输入向量可以是 ($Apple, $Google, $Microsoft)，显示每只股票的金额。（哦！这些美元值可以来自另一个矩阵，该矩阵将股票数量乘以其价格。真是高端！）
- 4 个输出操作应该是：更新苹果价值，更新谷歌价值，更新微软价值，计算利润。
可视化问题。想象一下运行每个操作：
关键是理解为什么我们要这样设置矩阵，而不是盲目地计算数字。
介绍情景
假设一个秘密的 iDevice 发布：苹果上涨 20%，谷歌下降 5%，微软保持不变。我们想调整每只股票的价值，使用类似于单位矩阵的东西：
New Apple [1.2 0 0]
New Google [0 0.95 0]
New Microsoft [0 0 1]
新苹果价值是原始价值增加 20%（谷歌下降 5%，微软不变）。
哦等等！我们还需要总体利润：
总变化 = (0.20 * 苹果) + (-0.05 * 谷歌) + (0 * 微软)
我们的最终操作矩阵：
New Apple [1.2 0 0]
New Google [0 0.95 0]
New Microsoft [0 0 1]
Total Profit [.20 -.05 0]
理解了吗？三个输入进来，四个输出出去。前三个操作是“修改后的复制”，最后一个将变化汇总。
现在让我们输入 Alice 和 Bob 的投资组合。Alice 有 $1000, $1000, $1000，Bob 有 $500, $2000, $500。我们可以手工计算，也可以使用 Wolfram Alpha（计算）：
注意：输入应在列中，但输入行更容易。转置操作（用 t 表示）将行转换为列。
最终结果：Alice 有 $1200 在 AAPL，$950 在 GOOG，$1000 在 MSFT，净利润为 $150。Bob 有 $600 在 AAPL，$1900 在 GOOG，$500 在 MSFT，净利润为 $0。
发生了什么？我们用自己的电子表格进行数学运算。线性代数在 1800 年代出现，而电子表格在 1980 年代发明。我将这种差距归咎于糟糕的线性代数教育。
历史备注：求解线性方程组
早期使用数字表（还不是“矩阵”）用于线性系统的记账：
变成：
我们可以通过在矩阵和输出中添加/减去行来避免手工重写完整的方程。当矩阵演变成单位矩阵时，x、y 和 z 的值将在输出侧显示出来。
这种过程称为高斯-约当消元法（Gauss-Jordan elimination），节省了时间。然而，线性代数主要是关于矩阵变换，而不是解决大量的方程组（这就像用 Excel 来做购物清单）。
术语、行列式和特征向量
单词有技术类别来描述它们的用法（名词、动词、形容词）。矩阵也可以类似地细分。
像“上三角形”、“对称”、“对角线”这样的描述是矩阵的形状，并影响它们的变换。
行列式(determinant)是输出变换的“大小”。如果输入是单位向量（表示面积或体积为 1），行列式就是变换后的面积或体积的大小。行列式为 0 表示矩阵是“破坏性的”，无法逆转（类似于乘以零：信息丢失了）。
特征向量(eigenvector)和特征值(eigenvalue)表示变换的“轴”。
考虑旋转一个球：每个位置都面向一个新方向，除了极点。
“特征向量”是通过矩阵时方向不变的输入（它沿着轴指向）。尽管方向不变，但大小可能会变。特征值是特征向量通过矩阵时放大或缩小的量。
将矩阵作为输入
一个有趣的想法：我们可以将操作矩阵视为输入！
想象一下食谱是一系列命令（加入2杯糖，3杯面粉……）。
如果我们想要公制版本呢？把指令当作文本，转换单位。食谱是要修改的“输入”。完成后，我们可以再次按照指示进行操作。
操作矩阵类似：修改命令。将一个操作矩阵应用于另一个操作矩阵会生成一个新的操作矩阵，该矩阵按顺序应用两种变换。
如果 NN 是“根据新闻调整投资组合”，而 TT是“根据税收调整投资组合”，那么同时应用两者：
TN=XTN = X
意思是“创建矩阵 XX，首先根据新闻进行调整，然后根据税收进行调整”。哇！我们不需要输入投资组合，我们直接将一个矩阵应用于另一个。
线性代数的美妙之处在于可以用单个字母表示整个电子表格计算。想要多次应用相同的变换？使用 N2T^n 或 N3N^n。
我们能使用常规加法吗？
因为你礼貌地问了，所以可以。我们的“迷你算术”看起来有限制：乘法，但没有加法？是时候扩展我们的思维了。
想象在输入中添加一个虚拟条目1：(x, y, z) 变成 (x, y, z, 1)。
现在我们的操作矩阵有了一个额外的已知值可以使用！如果我们想要 x + 1我们的操作矩阵可以写成：
[1 0 0 1]
乘法过程如下：
这样，我们通过矩阵乘法实现了 x+1x + 1。
而 x+y−3将是：
[1 1 0 -3]
乘法过程如下：
太棒了！
想要极客的解释吗？我们假装我们的输入存在于一个高一维的空间，并在该维度中放入一个“1”。我们扭曲那个高维度，这看起来像是在当前维度中的滑动。例如：输入 (x, y, z, 1) 并通过以下矩阵运行：
[1 0 0 1]
[0 1 0 1]
[0 0 1 1]
[0 0 0 1]
结果是 (x + 1, y + 1, z + 1, 1)。忽略第四维度，每个输入都得到了 +1。我们保留虚拟条目，以便以后进行更多的滑动。
迷你算术并不那么有限。
结束语
我忽略了一些线性代数的细微差别，但我并不太担心。为什么？
这些比喻帮助我用矩阵思考，比我“拿到满分”的课程更有效。我终于可以回答“线性代数有什么用？”的问题，就像回答“电子表格有什么用？”一样。
除非你需要一个工具来解决几乎所有现实世界的问题，否则它们没有用。问一个商人，他们愿意捐一个肾还是永远被禁止使用Excel。这就是我们忽视的线性代数的影响：有效的符号将表格引入我们的数学方程。
祝你数学学习愉快。