旋转矩阵是一种变换矩阵。该矩阵的目的是在欧几里得空间(Euclidean Space)中执行向量的旋转。几何学为我们提供了四种类型的变换，即旋转、反射、平移和调整大小。此外，变换矩阵使用矩阵乘法过程将一个向量转换为另一个向量。当我们想要改变向量的笛卡尔坐标并将它们映射到新坐标时，我们会借助不同的变换矩阵。
如果我们在二维空间中工作，那么旋转矩阵的阶数将为 2 x 2。类似地，n 维空间中旋转矩阵的阶数为 n x n。旋转矩阵描述固定坐标系中物体或向量的旋转。这些矩阵广泛用于执行物理、几何和工程中的计算。在本文中，我们将深入研究二维和三维空间中的旋转矩阵，并了解它们的重要属性。
二维旋转矩阵
在二维平面中相对于某一角度旋转物体的过程称为二维旋转。我们借助一个标准形式的 2 x 2 旋转矩阵来完成这种旋转，如下所示：
如果我们想旋转坐标为 (x, y) 的向量，则可以使用矩阵乘法来执行旋转，如下所示：
解此方程，我们得到：
这里，θ 是逆时针方向的旋转角度。
二维旋转矩阵的推导
设 G 为在 x-y 平面内的一个向量，长度为 r，并且与 x 轴形成角度 v。我们现在将 G 逆时针旋转一个角度 θ。如果 (x, y) 是向量 G 的顶点的原始坐标，那么 (x’, y’) 将是旋转后的新坐标。
将 (x, y) 表示为极坐标形式：
同样，将 (x’, y’) 表示为极坐标形式：
使用三角恒等式展开括号：
根据 (1) 和 (2) 得出：
如果我们使用一个 2 x 2 旋转矩阵来表示 (3) 和 (4)，我们得到：
因此，
是旋转矩阵。
三维旋转矩阵
在三维空间中，旋转可以围绕 x、y 或 z 轴进行。围绕任一轴进行的这种旋转称为基本或初等旋转。下面给出了可以围绕任意特定轴通过一个角度旋转向量的旋转矩阵。
这也称为滚转(roll)。它被定义为围绕 x 轴逆时针旋转 γ 角。
这种矩阵称为俯仰(pitch)。在这里，它表示围绕 y 轴逆时针旋转 β 角。
这种旋转矩阵称为偏航(yaw)，它是围绕 z 轴逆时针旋转 α 角。
根据惯例，若θ为正则表示逆时针旋转。θ为负表示顺时针旋转。
现在，如果我们想在围绕特定轴旋转后找到向量 (x, y, z) 的新坐标 (x’, y’, z’)，我们遵循如下公式：
假设一个物体围绕所有三个轴旋转，那么这样的旋转矩阵将是上述三个旋转矩阵 [P(z, α), P(y, β) 和 P(x, γ)] 的乘积。一般的旋转矩阵表示如下：
三维旋转矩阵的推导
为了推导 x、y 和 z 旋转矩阵，我们将遵循类似于二维旋转矩阵推导的步骤。三维旋转由一个角度和旋转轴定义。假设我们将一个点 Q（坐标为 (x, y, z)）绕 x 轴移动到一个新位置（坐标为 (x’, y’, z’)）。该点的 x 分量保持不变。因此，这种旋转类似于 y-z 平面内的二维旋转。因此，我们的 3 x 3 旋转矩阵表示如下:
同样的概念适用于物体绕 y 轴和 z 轴的旋转，以获得相应的旋转矩阵。
旋转矩阵的性质：
- 方阵(Square Matrix)：旋转矩阵始终是一个方阵。在二维中是2×2，在三维中是3×3。
- 正交性(Orthogonality)：旋转矩阵是正交矩阵，即其转置等于其逆：RT=R−1R^T = R^{-1}
- 行列式(Determinant)：旋转矩阵的行列式始终为1：det(R)=1\det(R) = 1
- 乘法(Multiplication)：两个旋转矩阵相乘仍然是一个旋转矩阵。
- 行的叉乘(Cross Product of Rows)：任意两行的叉乘结果等于第三行。
- 点乘(Dot Product)：任意一行与任意一列的点乘结果等于1。
这些性质对于理解和使用二维和三维旋转矩阵具有基础性的意义。